阻尼系数学习笔记
阻尼系数是振动系统中描述阻尼性质的一个参数，是指振幅随时间指数衰减的速率。阻尼分为欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三类。在机械振动中，气动摩擦阻尼、液体阻尼、辐射阻尼等因素均可引起振动阻尼。
阻尼比
阻尼比是阻尼系数与临界阻尼系数之比，通常用符号 ζ\zetaζ 表示。
ζ=cccr \zeta = \frac{c}{c_{cr}} ζ=ccrc
其中 ccc 是阻尼系数，ccrc_{cr}ccr 是临界阻尼系数，当阻尼比 ζ<1\zeta < 1ζ<1 时为欠阻尼，ζ=1\zeta = 1ζ=1 时为临界阻尼，ζ>1\zeta > 1ζ>1 时为过阻尼。
振动方程
在一般情况下，振动系统的运动方程可以写成如下形式：
mx¨+cx˙+kx=F(t) m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) mx¨+cx˙+kx=F(t)
其中 mmm 是质量，ccc 是阻尼系数，kkk 是弹性系数，F(t)F(t)F(t) 是外部作用力。
当外部作用力为 000 时，即 F(t)=0F(t) = 0F(t)=0，则运动方程变为：
mx¨+cx˙+kx=0 m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0 mx¨+cx˙+kx=0
考虑解这个方程，可以先假设解的形式为 x=ertx = e^{rt}x=ert，代入方程可得：
mr2+cr+k=0 mr^2 + cr + k = 0 mr2+cr+k=0
根据求根公式可得：
r1,2=−c±c2−4mk2m r_{1,2} = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m} r1,2=2m−c±c2−4mk
可以分为几种情况：
当 c2<4mkc^2 < 4mkc2<4mk 时，方程有两个不相等的虚根，此时系统为欠阻尼振动。
当 c2>4mkc^2 > 4mkc2>4mk 时，方程有两个不相等的实根，此时系统为过阻尼振动。
当 c2=4mkc^2 = 4mkc2=4mk 时，方程有一个重根，此时系统为临界阻尼振动。
阻尼比与振动图像
下面是不同阻尼比下的振动图像。
欠阻尼振动
在欠阻尼的情况下，振动呈现周期性的振荡，并以指数函数的速率逐渐衰减。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0, 50, 500)
x = np.exp(-0.2*t) * np.sin(2*np.pi*t)
plt.plot(t, x)
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Displacement')
plt.title('Underdamped Vibration')
plt.show()
过阻尼振动
过阻尼的情况下，振动呈现指数函数的速率逐渐衰减，但没有周期性振荡。
t = np.linspace(0, 10, 500)
x = (1 - np.exp(-2*t)) * np.exp(-5*t)
plt.plot(t, x)
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Displacement')
plt.title('Overdamped Vibration')
plt.show()
临界阻尼振动
临界阻尼的情况下，振动速率非常缓慢，但不会产生周期性振荡和指数函数的快速衰减。
t = np.linspace(0, 5, 500)
x = np.exp(-5*t) * (1 + 5*t)
plt.plot(t, x)
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Displacement')
plt.title('Critical Damping Vibration')
plt.show()
总结
阻尼系数是振动系统中描述阻尼性质的一个参数，是指振幅随时间指数衰减的速率。阻尼分为欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三类。在求解振动方程时，根据 c2c^2c2 与 4mk4mk4mk 的大小关系可判断阻尼的类型。在不同阻尼比下，振动图像表现出不同的特征，如周期性振荡、指数函数衰减等。